14 – Le décalage spectral dû à l'expansion de l'univers
2 - Les formules précédentes ne sont pas applicables à un univers trop jeune. Considérons une source lumineuse S lointaine dont la lumière est étudiée par un observateur en un point O. On suppose que S et O sont fixes pour des observateurs newtoniens respectivement voisins de S et de O (page 11) : les trajectoires de S et de O dans l'éther sont donc des méridiens. Il semble raisonnable de supposer que les photons émis par S et reçus en O ne sont pas sortis de l’espace euclidien à 3 dimensions E contenant les méridiens de S et de O : ils ont donc cheminé sur la sphère ordinaire Wde diamètre alpha-omega qui est l'intersection de cet espace E et de l'éther. En supposant que ces photons soient restés loin de toute matière ordinaire importante, leurs trajectoires sont donc des loxodromies de cette sphèreW qui coupent les méridiens sous un angle de 45 ° (page 13). Une projection stéréographique, de centre oméga sur le plan tangent au point alpha à la sphère W, les transforme en spirales logarithmiques et l'on obtient la relation
(1) tg(tO/2R) = ej.tg(tS/2R)
où R est le rayon de l'éther, tS le temps propre de S au moment de l’émission d’un photon, tO le temps propre de O au moment de la réception de ce même photon et j l’écart angulaire entre S et O, c'est-à-dire la mesure de l’angle dièdre formé par les méridiens trajectoires de S et de O dans l'éther.
Désignons par TS et TO les périodes de l'onde associée à ce photon au départ et à l'arrivée ; le décalage spectral Z dû à l'expansion de l'univers vaut :
Z = (TO - TS )/ TS
Comme j est constant, en prenant la différentielle logarithmique des deux membres de la relation (1), on obtient (To = dto , Ts = dts) :
TO/TS = sin(tO/R)/sin(tS/R)
D'où :
(2) Z = sint(tO/R)/sin(tS/R) – 1
Remarques 1 - Les formules précédentes ne sont pas applicables à un univers trop jeune. 2 - Le rayon actuel de l’univers vaut (cf. page 10) R.sin(t0/R); son rayon lors de l'émission de la lumière par la source S valait R.sin(ts/R): par suite Z apparait comme étant l'accroissement relatif du rayon de l'univers entre les âges ts et to.
